一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设 ，则

A． B． C． D．

2．已知集合 ，则

A． B．

C． D．

3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

建设前经济收入构成比例

4．记 为等差数列 的前 项和.若 ， ，则

A． B． C． D．

6．在 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则

A． B． C． D．

7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点 在正视图上的对应点为 ，圆柱表面上的点 在左视图上的对应点为 ，则在此圆柱侧面上，从 到 的路径中，最短路径的长度为

A． B． C．3 D．2

8．设抛物线C：y²=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为 的直线与C交于M，N两点，则 =

A．5 B．6 C．7 D．8

9．已知函数 ．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是

A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）

10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC． 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则

A．p1=p2 B．p1=p3C．p2=p3 D．p1=p2+p3

11．已知双曲线C： ，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若 为直角三角形，则|MN|=

A． B．3 C． D．4

12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为_____________．

14．记 为数列 的前 项和.若 ，则 _____________．

15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）

16．已知函数 ，则 的最小值是_____________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：60分。

17．（12分）

在平面四边形 中， ， ， ， .

（1）求 ；

（2）若 ，求 .

18．（12分）

如图，四边形 为正方形， 分别为 的中点，以 为折痕把 折起，使 点到达 点的位置，且 .

（1）证明：平面 平面 ；

（2）求 与平面 所成角的正弦值.

19．（12分）

设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点 的坐标为 .

（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程；

（2）设 为坐标原点，证明： .

20．（12分）

某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 ，且各件产品是否为不合格品相互独立．

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为 ,求 的最大值点 ．

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的 作为 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 ，求 ;

（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

21．（12分）

已知函数 ．

（1）讨论 的单调性；

（2）若 存在两个极值点 ，证明： ．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系 中，曲线 的方程为 .以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .

（1）求 的直角坐标方程；

（2）若 与 有且仅有三个公共点，求的 方程.

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知 .

（1）当 时，求不等式 的解集；

（2）若 时不等式 成立，求 的取值范围.

参考答案：

13.6 14. -63 15.16 16. 17.（12分）解：（1）在 中，由正弦定理得 .

由题设知， ，所以 .

由题设知， ，所以 .

（2）由题设及（1）知， .

在 中，由余弦定理得

.

所以 .

18.（12分）

解：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.又 平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.

（2）作PH⊥EF，垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点， 的方向为y轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H−xyz.

由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE= .又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.

可得 .

则 为平面ABFD的法向量.

设DP与平面ABFD所成角为 ，则 .

所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为 .

19.（12分）解：（1）由已知得 ，l的方程为x=1.

由已知可得，点A的坐标为 或 .

所以AM的方程为 或 .

（2）当l与x轴重合时， .

当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以 .

当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为 ， ，

则 ，直线MA，MB的斜率之和为 .

由 得 .

将 代入 得 .

所以， .

则 .

从而 ，故MA，MB的倾斜角互补，所以 .

综上， .

20.（12分）解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为 .因此 .

令 ，得 .当时 ， ；当时 ， .

所以 的最大值点为 .

（2）由（1）知， .

（i）令 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知 ， ，即 .

所以 .

（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于 ，故应该对余下的产品作检验.

21.（12分）解:（1） 的定义域为 ， .

（i）若 ，则 ，当且仅当 ， 时 ，所以 在 单调递减.

（ii）若 ，令 得 ，或 .

当 时， ；

当 时， .所以 在 单调递减，在 单调递增.

（2）由（1）知， 存在两个极值点当且仅当 .

由于 的两个极值点 满足 ，所以 ，不妨设 ，则 .由于 ，

所以 等价于 .

设函数 ，由（1）知， 在 单调递减，又 ，从而当 时， .

所以 ，即 .

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）解:（1）由 ， 得 的直角坐标方程为 ．

（2）由（1）知 是圆心为 ，半径为 的圆由题设知， 是过点 且关于 轴对称的两条射线．记 轴右边的射线为 ， 轴左边的射线为 ．由于 在圆 的外面，故 与 有且仅有三个公共点等价于 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点，或 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点．

当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 ．

经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 只有一个公共点， 与 有两个公共点．

当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 ．

经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 没有公共点．

综上，所求 的方程为 ．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）解：（1）当 时， ，即

故不等式 的解集为 ．

（2）当 时 成立等价于当 时 成立．

若 ，则当 时 ；

若 ， 的解集为 ，所以 ，故 ．

综上， 的取值范围为 .

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