点到直线的距离公式点到直线距离公式的证明法

2022-07-17 23:19:00 好学途升学百科来源：互联网

点到直线的距离公式点到直线距离公式的证明法：一、点到直线的距离公式二、点到直线距离公式的证明法定义法证：根据定义，点P(x₀,y₀)到直线l：Ax+By+C=0的距离是点P到直线l的垂线段的长，设点P到直线的垂线为l，垂足为……好学途（www.vaiok.com）小编为你整理了本篇文章，希望能解对你有所帮助！

一、点到直线的距离公式

点到直线的距离公式点到直线距离公式的证明法

二、点到直线距离公式的证明法

定义法证：根据定义，点P(x₀,y₀)到直线l：Ax+By+C=0的距离是点P到直线l的垂线段的长，设点P到直线的垂线为l'，垂足为Q，则l'的斜率为B/A则l'的解析式为y-y₀=(B/A)(x-x₀)把l和l'联立得l与l'的交点Q的坐标为((B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2), (A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2))由两点间距离公式得：

PQ^2=[(B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)-x0]^2

+[(A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2)-y0]^2

=[(-A^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)]^2

+[(-ABx₀-B^2y₀-BC)/(A^2+B^2)]^2

=[A(-By₀-C-Ax₀)/(A^2+B^2)]^2

+[B(-Ax₀-C-By₀)/(A^2+B^2)]^2

=A^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2

+B^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2

=(A^2+B^2)(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2

=(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)

所以PQ=|Ax₀+By₀+C|/√(A^2+B^2)，公式得证。

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