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​​arctanx求导方法 ​​反函数的导数与原函数的导数关系

2022-07-17 22:57:00 好学途 升学百科 来源：互联网

 

​​arctanx求导方法 ​​反函数的导数与原函数的导数关系：一、arctanx求导方法设x=tanytany=secx^yarctanx=1/(tany)=1/sec^ysec^y=1+tan^y=1+x^2所以(arctanx)=1/(1……好学途（www.vaiok.com）小编为你整理了本篇文章，希望能解对你有所帮助！

 

一、arctanx求导方法

​​arctanx求导方法 ​​反函数的导数与原函数的导数关系

设x=tany

tany'=secx^y

arctanx'=1/(tany)'=1/sec^y

sec^y=1+tan^y=1+x^2

所以(arctanx)'=1/(1+x^2)

二、反函数的导数与原函数的导数关系

设原函数为y=f(x)，则其反函数在y点的导数与f'(x)互为倒数（即原函数，前提要f'(x)存在且不为0）

​​arctanx求导方法 ​​反函数的导数与原函数的导数关系

三、反函数求导法则

如果函数x=f(y)x=f(y)在区间IyIy内单调、可导且f′(y)≠0f′(y)≠0，那么它的反函数y=f−1(x)y=f−1(x)在区间Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}内也可导，且

[f−1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy

[f−1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy

这个结论可以简单表达为：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

例：设x=siny，y∈[−π2,π2]x=sin⁡y，y∈[−π2,π2]为直接导数，则y=arcsinxy=arcsin⁡x是它的反函数，求反函数的导数.

解：函数x=sinyx=sin⁡y在区间内单调可导，f′(y)=cosy≠0f′(y)=cos⁡y≠0

因此，由公式得

(arcsinx)′=1(siny)′

(arcsin⁡x)′=1(sin⁡y)′

=1cosy=11−sin2y−−−−−−−−√=11−x2−−−−−√

=1cos⁡y=11−sin2⁡y=11−x2

 

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标签 导数 求导 反函数
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